Математическое моделирование систем водоснабжения совместно с активными источниками и регулирующими емкостями

Описание математической модели установившегося потокораспределения в системах водоснабжения, включающих в себя водопроводную сеть совместно с работающими на нее насосными станциями и регулирующими емкостями. Управляющие воздействия на насосных станциях.

Подобные документы

Математическое моделирование задач электроэнергетики с помощью аппарата линейной алгебры, теории графов. Расчёт установившихся режимов электрических систем, не содержащих и содержащих контур. Вероятностно–статистические методы в задачах электроснабжения.

курсовая работа, добавлен 13.11.2014

Использование методов математической статистики и линейного программирования для исследования фондов в библиотеках. Определение средней книгообеспеченности. Вычисление количественных и качественных показателей обращаемости книг. Расчет числа читателей.

лекция, добавлен 29.06.2015

Рассмотрение и анализ сущности популяционной динамики – одного из разделов математического моделирования. Определение коэффициентов колебательного режима системы. Исследование модели В. Вольтерра, как первого примера модели в математической экологии.

статья, добавлен 31.07.2018

Определение понятий модели и моделирования. Описание методики решения текстовых задач. Анализ применения моделирования при решении задач на движение. Разработка фрагментов уроков с использованием математической модели при решении задач на движение.

курсовая работа, добавлен 29.05.2016

Рассмотрение особенностей численного метода оценки параметров нелинейной математической модели, описывающей изменения численности населения Российской Федерации. Определение начального приближения вектора оценок коэффициентов разностного уравнения.

статья, добавлен 28.01.2021

Работа с пакетом MathCad. Основные панели инструментов. Математическое моделирование — изучение объекта путем создания его модели и использования ее с целью получения полезной информации. Graph — панель, содержащая кнопки для построения графиков.

курсовая работа, добавлен 15.02.2014

Целенаправленность и управление в телекоммуникационных системах. Управление функциональными характеристиками систем. Типы решений разнокритериальных задач. Математические модели управляемых систем в частотной области. Марковская линейная модель.

презентация, добавлен 22.01.2016

Аналитический метод определения инерционных параметров механических систем с упругими элементами, у которых основное движение осуществляется за счет закрученных упругих валов и сжатых пружин. Решение обратной задачи динамики механических систем.

статья, добавлен 28.05.2018

Разработка имитационной модели электрической сети. Подтверждение актуальности модели сети сопоставлением результатов вычислительных экспериментов, выполненных на модели, и параметров реальных режимов работы электроэнергетической системы Республики Йемен.

статья, добавлен 02.12.2018

Рассмотрение подходов к изучению моделирования. Методы имитации случайных величин. Этапы построения математической модели. Проблема оценки внешней среды. Характеристика особенностей имитационного моделирования. Анализ аспектов генетических алгоритмов.

реферат, добавлен 18.01.2014

Математическое моделирование систем водоснабжения совместно с активными источниками и регулирующими емкостями

Описание математической модели установившегося потокораспределения в системах водоснабжения, включающих в себя водопроводную сеть совместно с работающими на нее насосными станциями и регулирующими емкостями. Управляющие воздействия на насосных станциях.

Подобные документы

Математическое моделирование рассеивания звукового поля на системе объектов разной формы. Разработка решения задачи рассеяния звукового поля системой экранов. Рассеяние акустического поля тонкой незамкнутой сферической оболочкой и многослойной оболочкой.

автореферат, добавлен 19.08.2018

Дифференциальные уравнения и их применение в прикладных задачах. Математическая модель численного интегрирования дифференциальных уравнений. Математическое описание зависимости концентрации. Расчет профиля температур при нестационарной теплопроводности.

дипломная работа, добавлен 19.06.2015

Понятие математической модели, ее основные свойства. Описание методов аппроксимации, применяемых для построения регрессионных математических моделей. Обзор основных функций системы MathCad. Алгоритмический анализ задачи и описание функционирования.

курсовая работа, добавлен 09.12.2013

Математическое моделирование играет синтезирующую роль, объединяя разные методы и походы математики. Требования, предъявляемые к математическим моделям. Примеры математического моделирования. Составление моделей. Элементарные математические модели.

реферат, добавлен 17.12.2008

Разработка метода математического моделирования и последующего синтеза сложной робототехнической системы, включающей двигатель, механизм передачи движения и систему управления с целью учета взаимодействия структурных элементов привода друг с другом.

автореферат, добавлен 15.02.2018

Расчет оптимального ежесуточного объема вагонопотока, обеспечивающего максимальную прибыль при доставке грузов, с помощью методов математического моделирования. Поиск максимального потока и минимального разреза по заданной матрице транспортной сети.

контрольная работа, добавлен 03.12.2017

Специальные математические формулы и нормы для расчета геометрических параметров трамплинов. Изменение угла атаки прыгуна во время прыжка. Определение угла атаки системы «лыжник-лыжи» при полете лыжника. Моделирование основных параметров прыжка.

статья, добавлен 01.03.2019

Технологическое описание процесса в кожухотрубчатом теплообменнике. Определение расхода водяного пара. Применение преобразования Лапласа к граничному условию. Расчет профиля температур жидкости. Составление математической модели по найденному алгоритму.

контрольная работа, добавлен 16.12.2015

Этапы разработки математической модели электромеханической системы. Определение допущений и начальных условий, определяемых физическим смыслом задачи. Методы решения математических уравнений, описывающих процессы. Интерпретация результатов моделирования.

презентация, добавлен 20.04.2017

Математическое моделирование как современный метод исследования сложных естественных процессов. Анализ возможности использования переменной относительной погрешности вычисления для существенного сокращения времени расчета без ущерба для точности.

статья, добавлен 18.12.2017

Математическое моделирование систем водоснабжения совместно с активными источниками и регулирующими емкостями

Описание математической модели установившегося потокораспределения в системах водоснабжения, включающих в себя водопроводную сеть совместно с работающими на нее насосными станциями и регулирующими емкостями. Управляющие воздействия на насосных станциях.

Подобные документы

Последовательность основополагающих стадий построения математической модели по заданному вектору. Методы приближенного описания объекта моделирования, выраженного с помощью математической символики по назначению. Применение уравнений «входа-выхода».

презентация, добавлен 09.12.2014

Характеристика процесса моделирования в управленческой деятельности. Анализ основных этапов процесса построения математической модели. Сравнительная характеристика математических и информационных моделей. Описание основных видов и методов моделирования.

реферат, добавлен 11.12.2016

Виды систем массового обслуживания. Методы разработки математических моделей в данных системах. Подготовка данных и проверка статистических гипотез. Модели со стоимостными характеристиками. Моделирование с учетом предпочтительности уровня обслуживания.

курсовая работа, добавлен 11.12.2014

Сферы применения методов математического моделирования. Широкое применение метода конечных элементов, его основные положения и преимущества. Расчет на компьютере с помощью программы Ansoft Maxwell магнитных полей в спинволновых ферритовых системах.

реферат, добавлен 15.05.2013

Постановка задачи и построение ее математической модели. Запись переменных, целевой функции, неявного ограничения. Выбор, обоснование и описание метода решений поставленной задачи. Описание симплекс-метода. Проведение анализа модели на чувствительность.

контрольная работа, добавлен 29.01.2014

Рассмотрение ключевых принципов сборки наноструктур на основе информационной модели межэлектронного обменного взаимодействия атомов. Реализация информационной модели атомной сборки на примере осаждения нано-структурных покрытий для режущего инструмента.

статья, добавлен 06.05.2018

Использование модели рассеяния активной примеси внутри облака. Применение полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии для описания модели облака и линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса при моделировании процесса рассеивания реагента.

автореферат, добавлен 10.12.2013

Применение спектральной теории для построения математической модели процесса охлаждения потока движущейся среды в пространстве состояний. Сравнение переходного процесса модели с переходным процессом эталонной модели, полученной операторным методом.

статья, добавлен 28.01.2020

Вычисление определителя матрицы классическим способом. Расчет установившихся режимов электрических систем. Нахождение токов методом Крамера. Вычисление узловых напряжений. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Свойство вероятности.

курсовая работа, добавлен 15.05.2011

Решение системы линейных уравнений матричным способом и по правилу Крамера. Построение области допустимых решений. Решение закрытой транспортной задачи. Составление экономико-математической модели линейного программирования. Минимизация целевой функции.

контрольная работа, добавлен 11.04.2009

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО «МГТУ им. Н.Э. Баумана». Эл № ФС 77 — 48211. ISSN 1994-0408

Математическая модель одномерной сети водоснабжения

Современное состояние и быстрое изменение структуры систем городских водопроводов, увеличение числа используемых одновременно источников водоснабжения, насосных станций и регулирующих емкостей требуют совершенствования методов расчета систем подачи и распределения воды. Проблема также заключается и в старении труб, что влечет за собой изменение их сопротивления, не учтенное при начальном расчете системы водоснабжения. Возникает вопрос управления работой такой сети, который для начала сводится к получению математической модели сети водоснабжения.

Рассмотрим схему обычной городской водопроводной сети: имеется несколько насосных станций, питающих сеть, которая в свою очередь состоит из трубопроводов, соединяющихся в узловых точках. Некоторые из узловых точек являются контрольными. Они расположены таким образом, что определенное значение давления воды в них обеспечивает необходимое давление во всей водопроводной сети. Давление в отдельно взятой контрольной точке зависит от давлений во всех насосах сети, а также от уровня расходов воды, которые носят случайный характер.

Для построения математической модели такой сети водоснабжения необходимо найти математическую модель отдельно взятого участка сети, т.е. рассмотрим одномерную сеть с двумя насосами (точки А₁ и А₂) и несколькими датчиками давления в контрольных точках В _j (рис.1). Давление в насосах обозначим Р₁ и Р₂ ,а расходы в них Q ₁ и Q ₂ соответственно. Давление в контрольных точках обозначим Р _j , а вдоль всей оси нашей сети расположим водозаборные краны с расходами q_j или q 1, q 2, … q_k . Эти расходы неизвестны и постоянно меняются, что влечет за собой изменение влияния давлений в насосах на давления в контрольных точках, что и является главной зависимостью при построении модели сети.

Рис. 1 Одномерная сеть

Рис. 2 Распределение давления в одномерной сети

Для вывода уравнений предположим, что давление в каждой точке сети есть функция р(х). При этом основное гидравлическое уравнение движения воды в стационарном режиме запишется как:

(1)

D p — изменение давления на трубе длиной D x ;

q — поток воды через трубу;

m — постоянная, зависящая от состояния труб (около 2);

k — коэффициент, зависящий от сечения трубы (коэффициент сопротивления трубы).

Функция q m понимается в смысле

, (2)

например для m =2 q 2 . sign ( q )

для m =17/9 q 17/9 , т.к. сигнатуру можно опустить.

Кроме того будем использовать обратную функцию:

(3)

определенную как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента.

Разделим уравнение (1) на D x и устремим D x к нулю:

Продифференцировав поток q ( x ), найдем плотность расходов от водоразборных кранов:

, причем f ( x )

После проведенной предварительной подготовки необходимо, для начала, найти функцию сопротивления труб k ( x ). Для этого необходим массив измерений P ₁ , P ₂ , Q ₁ , Q ₂ , p ₁ , p ₂ … p_k для различных моментов времени. Данную задачу можно рассмотреть как задачу оптимизации функции k ( x ) при условии минимума максимума f ( x ) по х для всех моментов времени, т.е. сначала принимаем f ( x ) за постоянную величину, тогда уравнение (5) при граничных условиях q (0) = Q ₁ ; q (1) = — Q ₂ имеет решение:

, где (6)

Из уравнения (4) находим :

Для того, чтобы знаменатель обращался в ноль вместе с числителем ( т.е. функция k ( x ) была всюду положительной), найдем функцию р(х) в виде

, где (8)

U ( x ) – многочлен степени k .

k +1 коэффициент многочлена и постоянную С найдем из k +2 уравнений:

Фактически задача свелась к решению системы уравнений. Но необходимо отметить, что все давления, используемые в уравнениях, измеряются относительно одной и той же высотной отметки, т.е. учитывается географическая высота места, где установлен манометр.

Подставляя выражения (6) и (8) в (7) получаем:

Таким образом, получили функцию сопротивления труб k ( x ) в виде многочлена степени k (для одного момента времени). Для нескольких моментов времени предлагается найти k ( x ) аналогично, а затем усреднить полученные многочлены k -й степени путем усреднения коэффициентов при одинаковых степенях. Полученная таким образом k ( x ) обеспечит минимальную вероятность того, что при нахождении функции f ( x ), потока q ( x ) в трубах и плотности расхода f ( x ), для известного k ( x ) по одному измерению P ₁ , P ₂ , Q ₁ , Q ₂ , p ₁ , p ₂ , … p_{k ,} и нахождении расхода на участке (х1,х2), путем вычисления разности ( q (x₂) – q ( x ₁ )), плотность расхода будет положительной.

Так как функция сопротивления труб k (х) мало меняется во времени, то находить ее можно достаточно редко, например, для проверки засорения труб.

Таким образом используя выражение (4) и результаты одного измерения определим р(х). По типовому виду функции р(х), представленной на рис.3, видим, что она имеет минимум в некоторой точке х = а. Следовательно, производная в этой точке равна нулю. Если корень производной простой (однократный), то это приведет к разрыву f ( x ). Действительно, для однократного корня производную p ’( x ) можно представить в виде:

, где

j ( x ) — положительная функция.

Подставим ее в уравнение (4):

, или

Из уравнения (5) тогда видим:

Таким образом, f ( x ) имеет разрыв в точке х = а. Графики этих функций показаны на рис.4 (заштрихован полный расход Q ₁ + Q ₂ ). Т.о. кратность корня p ’( x ) должна быть равна m . Если это так, то будет разрыв f ( x ), а если больше, то в точке х = а f ( x )=0. Необходимую кратность корня обеспечивает вид (8), где степень понимается в смысле (2). С учетом сигнатуры уравнение (8) можно переписать в виде:

(9)

для некоторых m , например m =17/9, модуль можно опустить.

Для определения неизвестных коэффициентов, входящих в (9), имеем k +4 условий, соответствующих результатам одного измерения. Запишем эти условия, используя уравнение (4)

(10)

Неизвестными являются а, С и коэффициенты многочлена U(x). Всего неизвестных k+4, следовательно, U(x) должен иметь степень k+4. Благодаря параметру а, система условий (10) приводит к нелинейной системе уравнений, поэтому необходимо указать способ решения этой системы.

Из уравнения (9) получим:

, где

(12)

Запишем последние два условия (10) с учетом (11)

,

и поделив

находим а :

Перепишем (10) более полно:

(14)

Для известного а система (14) представляет собой линейную систему k+3алгебраических уравнений с k+3 неизвестными.

Предлагается следующий алгоритм решения системы (14) и (13): приняв и , находим по формуле (13) а в первом приближении:

a)

b) Полученное значение подставляем в систему (14) и решаем ее как линейную систему.

c) Получив коэффициенты многочлена U ( x ), находим по формуле (12) и , подставляем в (13) и находим уточненное значение а .

d) Повторяем несколько раз пункты b ) и c ).

Получив значение параметров а, С и коэффициентов многочлена U ( x ), по формуле (9) можно найти значение функции р(х) в любой точке системы.

А теперь нам остается для известного k ( x ) и р(х) найти зависимость

(15)

Для этого находим зависимость D p ( x ) при условии

затем при условии

Итак, найдем зависимость (15) изменения давления в критических точках при изменении давления в насосах.

Функцию р(х), полученную выше, можно рассматривать как решение системы дифференциальных уравнений (4) и (5):

(16)

при граничных условиях:

(функции k ( x ) и f ( x ) считаем известными), т.е. как решение краевой задачи.

Пусть давление Р₂ получило приращение D P ₂ , а Р₁, k ( x ) и f ( x ) не изменились (т.к. мы решаем задачу для данного момента времени, то f ( x ) считается неизменной).

Тогда переменные h и q получат приращения D p ( x ) и D q ( x ) соответственно. Запишем новую краевую задачу:

(18)

(19)

Лианиризуем уравнения и вычитаем из (18) (16):

(20)

(21)

Используя граничные условия (19) найдем неизвестное

и подставим в выражение (21), тогда:

(22)

Типичный вид этой зависимости показан на рис.4.

Аналогично получаем решение уравнений (20) для краевых условий:

D p ( L ) = 0 , тогда

(23)

Преобразуем подынтегральную функцию через функцию j ( x ), которая выражается через U ( x ) по формуле (12). Из уравнения (16) и (11):

(24)

а коэффициенты многочлена U ( x ) были определены ранее.

С учетом обозначения (24), искомая зависимость изменения давлений в j -ой контрольной точке от изменения давления в насосах D P ₁ и D P ₂ будет иметь вид:

(25)

Интегралы и вычисляются численным методом по формуле (24), которая для наиболее распространенного случая принимает вид:

Из выражения (25) видно, что если D P ₁ = D P ₂ = D p , то и D p_j = D p . Т.е. график зависимости р(х) смещается вверх на постоянную величину D p , что согласуется с физическими соображениями.

Коэффициенты искомой зависимости (15):

и

На рис.5 показаны графики, где сплошной линией обозначено V ₁ , а пунктиром V ₂ . Можно заметить, что в точке х = b графики пересекаются, что соответствует одинаковому влиянию насосов на давление в это точке. Если интересующая нас точка, например x_j , находится правее точки b , то решающее значение для нее имеет давление во втором насосе. И соответственно наоборот для точек левее точки b .

Таким образом зная давление в насосах Р₁ и Р₂ и в ходе проведенного измерения получив массив измерений Q ₁ , Q ₂ , р₁…..р _k , по выше приведенным формулам определяем функцию сопротивления труб k ( x ) и значения параметров а, С и коэффициентов многочлена U ( x ). Определив данные значения всего один раз, в дальнейшем можно пользоваться математической зависимостью(25) изменения давления в произвольной точке от изменений давлений в насосах.